0 1 регион чей: Читаем номера — коды регионов России (RUS)

Содержание

Читаем номера — коды регионов России (RUS)

код на номере

регион России | город

01

   

Республика Адыгея

Майкоп

02

102 702

Республика Башкирия

Уфа

03

   

Бурятская республика

Улан-Удэ

04

   

Республика Алтай

Горно-Алтайск

05

   

Республика Дагестан

Махачкала

06

   

Республика Ингушетия

Магас

07

   

Кабардино-Балкарская республика

Нальчик

08

   

Республика Калмыкия

Элиста

09

   

Карачаево-Черкесская республика

Черкесск

10

   

Республика Карелия

Петрозаводск

11

   

Республика Коми

Сыктывкар

12

   

Республика Морий-Эл

Йошкар-Ола

13

113  

Мордовская республика

Саранск

14

   

Республика Саха(Якутия)

Якутск

15

   

Республика Северная Осетия

Владикавказ

16

116 716

Республика Татарстан

Казань

17

   

Республика Тува

Кызыл

18

   

Удмуртская Республика

Ижевск

19

   

Республика Хакасия

Абакан

20

   

Чеченская Республика (аннулирован в 2000 году)

Грозный

21

121  

Чувашская Республика

Чебоксары

22

122  

Алтайский край

Барнаул

23

123  

Краснодарский край

Краснодар

24

124  

Красноярский край

Красноярск

25

125  

Приморский край

Владивосток

26

126  

Ставропольский край

Ставрополь

27

   

Хабаровский край

Хабаровск

28

   

Амурская область

Благовещенск

29

   

Архангельская область

Архангельск
30     Астраханская область Астрахань
 

31

   

Белгородская область

Белгород

32

   

Брянская область

Брянск

33

   

Владимирская область

Владимир

34

134  

Волгоградская область

Волгоград

35

   

Вологодская область

Вологда

36

136  

Воронежская область

Воронеж

37

   

Ивановская область

Иваново

38

138  

Иркутская область

Иркутск

39

   

Калини­нградская область

Калининград

40

   

Калужская область

Калуга

41

   

Камчатская область (Камчатский край)

Петропавловск-Камчатский

42

142  

Кемеровская область

Кемерово

43

   

Кировская область

Киров

44

   

Костромская область

Кострома

45

   

Курганская область

Курган

46

   

Курская область

Курск

47

147  

Ленинградская область

48

   

Липецкая область

Липецк

49

   

Магаданская область

Магадан

50

150 750

Московская область

Москва

51

   

Мурманская область

Мурманск

52

152  

Нижегородская область

Нижний Новгород

53

   

Новгородская область

Великий Новгород

54

154  

Новосибирская область

Новосибирск

55

   

Омская область

Омск

56

156  

Оренбургская область

Оренбург

57

   

Орловская область

Орел

58

   

Пензенская область

Пенза

59

159  

Пермская область

Пермь

60

   

Псковская область

Псков

61

161 761

Ростовская область

Ростов-на-Дону

62

   

Рязанская область

Рязань

63

163 763

Самарская область

Самара

64

164  

Саратовская область

Саратов

65

   

Сахалинская область

Южно-Сахалинск

66

   

Свердловская область

Екатеринбург

67

   

Смоленская область

Смоленск

68

 
 

Тамбовская область

Тамбов

69

   

Тверская область

Тверь

70

   

Томская область

Томск

71

   

Тульская область

Тула

72

   

Тюменская область

Тюмень

73

173  

Ульяновская область

Ульяновск

74

174 774

Челябинская область

Челябинск

75

   

Забайкальский край с 1.03.2008

Читинская область до 1.03.2008

Чита

76

   

Ярославская область

Ярославль

77

177 777

Москва (*см. прим. — город)

78

178  

Санкт-Петербург

79

   

Еврейская автономная область

Биробиджан

80

   

Агинский Бурятский АО2008

Забайкальский край

Агинское

Чита

81

   

Коми-Пермяцкий АО до декабря 2005 года

Пермский край

Кудымкар

Пермь

82

   

Республика Крым (с 2014 года) 777

Симферополь

83

   

Ненецкий автономный округ

Нарьян-Мар

84

   

Таймырский автономный округ до 2007 года

Красноярский край

Дудинка

Красноярск

85

   

Усть-Ордынский АО до 2008 года

Иркутская область

пос. Усть-Ордынский

Иркутск

86

186  

Ханты-Мансийский АО

Ханты-Мансийск

87

   

Чукотский автономный округ

Анадырь

88

   

Эвенкийский автономный округ до 2007 года88

Красноярский край

пос. Тура

Красноярск

89

   

Ямало-Hенецкий АО

Салехард

90

190 790

Московская область

91     Калини­нградская область Калининград
92     Севастополь (с 2014 года)
93 193   Краснодарский край Краснодар
94     Байконур *территории за пределом РФ

95

   

Чеченская республика

Грозный

96

196  

Свердловская область

Екатеринбург
97 197 797 Москва
98 198   Санкт-Петербург
99 199 799 Москва

Коды регионов России (обновлённые данные 2019 года)

Действующий стандарт номерных знаков введён в России в 1993 году. Форматы табличек для разных типов транспортных средств отличаются по цвету, форме, сочетанию букв и цифр, но у всех из них есть код региона (исключение — «военные» номера, где цифровой код обозначает военный округ или вид войск).

Цифровые коды регионов с «01» до «89» были присвоены по списку субъектов федерации, перечисленных в Конституции России. Уже в 1999 году для Москвы пришлось вводить новый код «99» — все номера с первоначальным кодом «77» быстро закончились. Позднее дополнительные коды получили и некоторые другие регионы, а в 2004 году на номерах появились трёхзначные коды. Последние пополнения в списке — код «198» для Санкт-Петербурга и код «761» для Ростовской области.

01 Республика Адыгея
02 Республика Башкортостан
03 Республика Бурятия
04 Республика Алтай
05 Республика Дагестан
06 Республика Ингушетия
07 Кабардино-Балкарская Республика
08 Республика Калмыкия
09 Карачаево-Черкесская Республика
10 Республика Карелия
11 Республика Коми
12 Республика Марий-Эл
13 Республика Мордовия
14 Республика Саха-Якутия
15 Республика Северная Осетия-Алания
16 Республика Татарстан
17 Республика Тува
18 Удмуртская Республика
19 Республика Хакасия
20 Чеченская Республика В 2000 году все номера заменили на новые с кодом 95
21 Чувашская Республика
22 Алтайский край
23 Краснодарский край
24 Красноярский край
25 Приморский край
26 Ставропольский край
27 Хабаровский край
28 Амурская область
29 Архангельская область
30 Астраханская область
31 Белгородская область
32 Брянская область
33 Владимирская область
34 Волгоградская область
35 Вологодская область
36 Воронежская область
37 Ивановская область
38 Иркутская область
39 Калининградская область
40 Калужская область
41 Камчатский край до 2007 года — Камчатская область
42 Кемеровская область
43 Кировская область
44 Костромская область
45 Курганская область
46 Курская область
47 Ленинградская область
48 Липецкая область
49 Магаданская область
50 Московская область
51 Мурманская область
52 Нижегородская область
53 Новгородская область
54 Новосибирская область
55 Омская область
56 Оренбургская область
57 Орловская область
58 Пензенская область
59 Пермский край до 2005 года — Пермская область
60 Псковская область
61 Ростовская область
62 Рязанская область
63 Самарская область
64 Саратовская область
65 Сахалинская область
66 Свердловская область
67 Смоленская область
68 Тамбовская область
69 Тверская область
70 Томская область
71 Тульская область
72 Тюменская область
73 Ульяновская область
74 Челябинская область
75 Забайкальский край до 2008 года — Читинская область
76 Ярославская область
77 Москва
78 Санкт-Петербург
79 Еврейская автономная область
80 бывший Агинский Бурятский автономный округ с 2008 года в составе Забайкальского края
81 бывший Коми-Пермяцкий автономный округ с 2005 года в составе Пермского края
82 Республика Крым с 2014 года, до 2007 года номера выдавались в Корякском автономном округе
83 Ненецкий автономный округ
84 бывший Таймырский автономный округ с 2007 года в составе Красноярского края
85 бывший Усть-Ордынский Бурятский автономный округ с 2008 года в составе Иркутской области
86 Ханты-Мансийский автономный округ
87 Чукотский автономный округ
88 бывший Эвенкийский автономный округ с 2007 года в составе Красноярского края
89 Ямало-Ненецкий автономный округ
90 Московская область с 2001 года
91 Калининградская область код используется только на экспортных транзитных номерах
92 Севастополь с 2014 года
93 Краснодарский край с 2005 года
94 Байконур территории, находящиеся за пределами РФ
95 Чеченская республика с 2000 года
96 Свердловская область с 2006 года
97 Москва с 2002 года
98 Санкт-Петербург с 2004 года
99 Москва с 1998 года
102 Республика Башкортостан с 2006 года
113 Республика Мордовия с 2009 года
116 Республика Татарстан с 2006 года
121 Чувашская Республика с 2008 года
123 Краснодарский край с 2011 года
124 Красноярский край с 2009 года
125 Приморский край с 2005 года
126 Ставропольский край с 2013 года
134 Волгоградская область с 2012 года
136 Воронежская область с 2010 года
138 Иркутская область с 2013 года
142 Кемеровская область с 2011 года
150 Московская область с 2006 года
152 Нижегородская область с 2009 года
154 Новосибирская область с 2010 года
159 Пермский край с 2007 года
161 Ростовская область с 2007 года
163 Самарская область с 2006 года
164 Саратовская область с 2005 года
173 Ульяновская область с 2007 года
174 Челябинская область с 2007 года
177 Москва с 2005 года
178 Санкт-Петербург с 2010 года
186 Ханты-Мансийский автономный округ с 2012 года
190 Московская область с 2009 года
196 Свердловская область с 2013 года
197 Москва с 2010 года
198 Санкт-Петербург с 2018 года
199 Москва с 2007 года
750 Московская область с 2013 года
716 Республика Татарстан с 2017 года
761 Ростовская область с 2019 года
763 Самарская область с 2017 года
777 Москва с 2013 года
799 Москва с 2017 года

Автомобильные коды регионов России. Номера регионов.

Автомобильные коды регионов России
Номера регионов России (rus)

 01   Код региона Республика Адыгея
 02   Код региона Республика Башкортостан    (также 102)
 03   Код региона Республика Бурятия
 04   Код региона Республика Алтай
 05   Код региона Республика Дагестан
 06   Код региона Республика Ингушетия
 07   Код региона Кабардино-Балкарская Республика
 08   Код региона Республика Калмыкия
 09   Код региона Карачаево-Черкесская Республика
 10   Код региона Республика Карелия
 11   Код региона Республика Коми
 12   Код региона Республика Марий Эл
 13   Код региона Республика Мордовия
 14   Код региона Республика Саха (Якутия)
 15   Код региона Республика Северная Осетия
 16   Код региона Республика Татарстан    (также 116)
 17   Код региона Республика Тыва (Тува)
 18   Код региона Удмуртская Республика    (также 118)
 19   Код региона Республика Хакасия
 20   Код региона Чеченская Республика (старые номера)
 21   Код региона Чувашская Республика    (также 121)
 22   Код региона Алтайский край
 23   Код региона Краснодарский край    (также 93)
 24   Код региона Красноярский край
 25   Код региона Приморский край    (также 125)
 26   Код региона Ставропольский край
 27   Код региона Хабаровский край
 28   Код региона Амурская область
 29   Код региона Архангельская область
 30   Код региона Астраханская область
 31   Код региона Белгородская область
 32   Код региона Брянская область
 33   Код региона Владимирская область
 34   Код региона Волгоградская область
 35   Код региона Вологодская область
 36   Код региона Воронежская область
 37   Код региона Ивановская область
 38   Код региона Иркутская область    (также 138)
 39   Код региона Калининградская область
 40   Код региона Калужская область
 41   Код региона Камчатская область
 42   Код региона Кемеровская область
 43   Код региона Кировская область
 44   Код региона Костромская область
 45   Код региона Курганская область
 46   Код региона Курская область
 47   Код региона Ленинградская область
 48   Код региона Липецкая область
 49   Код региона Магаданская область
 50   Код региона Московская область    (также 90, 150)
 51   Код региона Мурманская область
 52   Код региона Нижегородская область    (также 152)
 53   Код региона Новгородская область
 54   Код региона Новосибирская область    (также 154)
 55   Код региона Омская область
 56   Код региона Оренбургская область
 57   Код региона Орловская область
 58   Код региона Пензенская область
 59   Код региона Пермская область    (также 159)
 60   Код региона Псковская область
 61   Код региона Ростовская область    (также 161)
 62   Код региона Рязанская область
 63   Код региона Самарская область    (также 163)
 64   Код региона Саратовская область    (также 164)
 65   Код региона Сахалинская область
 66   Код региона Свердловская область    (также 96)
 67   Код региона Смоленская область
 68   Код региона Тамбовская область
 69   Код региона Тверская область
 70   Код региона Томская область
 71   Код региона Тульская область
 72   Код региона Тюменская область
 73   Код региона Ульяновская область    (также 173)
 74   Код региона Челябинская область    (также 174)
 75   Код региона Читинская область
 76   Код региона Ярославская область
 77   Код региона г. Москва    (также 97, 99, 177, 197, 199)
 78   Код региона г. Санкт-Петербург (также 98)
 79   Код региона Еврейская автономная область
 80   Код региона Агинский Бурятский автономный округ
 81   Код региона Коми-Пермяцкий автономный округ
 82   Код региона Корякский автономный округ
 83   Код региона Ненецкий автономный округ
 84   Код региона Таймырский автономный округ
 85   Код региона Усть-Ордынский Бурятский автономный округ
 86   Код региона Ханты-Мансийский автономный округ
 87   Код региона Чукотский автономный округ
 88   Код региона Эвенкийский автономный округ
 89   Код региона Ямало-Ненецкий автономный округ
 90   Код региона Московская область    (также 50, 150)
 93   Код региона Краснодарский край    (также 23)
 94   Код региона территорий, находящихся за пределами РФ и обслуживаемые                              Управлением режимных объектов МВД
 95   Код региона Чеченская Республика (новые номера)
 96   Код региона Свердловская область    (также 66)
 97   Код региона г. Москва    (также 77, 99, 177, 197, 199)
 98   Код региона г. Санкт-Петербург    (также 78)
 99   Код региона г. Москва    (также 77, 97, 177, 197, 199)
102  Код региона Республика Башкортостан    (также 02)
116  Код региона Республика Татарстан    (также 16)
118  Код региона Удмуртская Республика    (также 18)
121  Код региона Чувашская Республика    (также 21)
125  Код региона Приморский край    (также 25)
138  Код региона Иркутская область    (также 38)
150  Код региона Московская область    (также 50, 90)
152  Код региона Нижегородская область    (также 52)
154  Код региона Новосибирская область    (также 54)
159  Код региона Пермская область    (также 59)
161  Код региона Ростовская область    (также 61)
163  Код региона Самарская область    (также 63)
164  Код региона Саратовская область    (также 64)
173  Код региона Ульяновская область    (также 73)
174   Код региона Челябинская область    (также 74)
177  Код региона г. Москва    (также 77, 97, 99, 197, 199)
197  Код региона г. Москва    (также 77, 97, 99, 177, 199)
199  Код региона г. Москва    (также 77, 97, 99, 177, 197)

Более полную и свежую информацию по автомобильным кодам России смотрите на этом сайте регионы России номера таблица

Таблица кодов регионов России на автомобильных номерах

Номер Номер региона РФ Регион Российской Федерации
01 регион Республика Адыгея
02 регион Республика Башкортостан
03 регион Республика Бурятия
04 регион Республика Алтай
05 регион Республика Дагестан
06 регион Республика Ингушетия
07 регион Кабардино-Балкарская Республика
08 регион Республика Калмыкия
09 регион Республика Карачаево-Черкессия
10 регион Республика Карелия
11 регион Республика Коми
12 регион Республика Марий Эл
13 регион Республика Мордовия
14 регион Республика Саха (Якутия)
15 регион Республика Северная Осетия — Алания
16 регион Республика Татарстан
17 регион Республика Тыва
18 регион Удмуртская Республика
19 регион Республика Хакасия
20 регион Чеченская Республика
21 регион Чувашская Республика
22 регион Алтайский край
23 регион Краснодарский край
24 регион Красноярский край
25 регион Приморский край
26 регион Ставропольский край
27 регион Хабаровский край
28 регион Амурская область
29 регион Архангельская область
30 регион Астраханская область
31 регион Белгородская область
32 регион Брянская область
33 регион Владимирская область
34 регион Волгоградская область
35 регион Вологодская область
36 регион Воронежская область
37 регион Ивановская область
38 регион Иркутская область
39 регион Калининградская область
40 регион Калужская область
41 регион Камчатский край
42 регион Кемеровская область
43 регион Кировская область
44 регион Костромская область
45 регион Курганская область
46 регион Курская область
47 регион Ленинградская область
48 регион Липецкая область
49 регион Магаданская область
50 регион Московская область
51 регион Мурманская область
52 регион Нижегородская область
53 регион Новгородская область
54 регион Новосибирская область
55 регион Омская область
56 регион Оренбургская область
57 регион Орловская область
58 регион Пензенская область
59 регион Пермский край
60 регион Псковская область
61 регион Ростовская область
62 регион Рязанская область
63 регион Самарская область
64 регион Саратовская область
65 регион Сахалинская область
66 регион Свердловская область
67 регион Смоленская область
68 регион Тамбовская область
69 регион Тверская область
70 регион Томская область
71 регион Тульская область
72 регион Тюменская область
73 регион Ульяновская область
74 регион Челябинская область
75 регион Забайкальский край
76 регион Ярославская область
77 регион город Москва
78 регион город Санкт-Петербург
79 регион Еврейская автономная область
80 регион Забайкальский край
81 регион Пермский край
82 регион Автономная Республика Крым
83 регион Ненецкий автономный округ
84 регион Красноярский край
85 регион Иркутская область
86 регион Ханты-Мансийский автономный округ ЮГРА
87 регион Чукотский автономный округ
88 регион Красноярский край
89 регион Ямало-Ненецкий автономный округ
90 регион Московская область
91 регион Калининградская область
92 регион Севастополь
93 регион Краснодарский край
94 регион Территории, обслуживаемые Департаментом Режимных Объектов МВД РФ, находящиеся за пределами РФ (Байконур, Антарктика)
95 регион Чеченская Республика
96 регион Свердловская область
97 регион город Москва
98 регион город Санкт-Петербург
99 регион город Москва
102 регион Республика Башкортостан
113 регион Республика Мордовия
116 регион Республика Татарстан
121 регион Республика Чувашия
123 регион Краснодарский край
124 регион Красноярский край
125 регион Приморский край
134 регион Волгоградская область
136 регион Воронежская область
138 регион Иркутская область
142 регион Кемеровская область
150 регион Московская область
152 регион Нижегородская область
154 регион Новосибирская область
159 регион Пермский край
161 регион Ростовская область
163 регион Самарская область
164 регион Саратовская область
169 регион Тверская область
173 регион Ульяновская область
174 регион Челябинская область
177 регион город Москва
178 регион город Санкт-Петербург
186 регион Ханты-Мансийский автономный округ ЮГРА
190 регион Московская область
196 регион Свердловская область
197 регион город Москва
199 регион город Москва
725 регион Приморский край
750 регион Московская область
777 регион город Москва
790 регион Московская область
797 регион город Москва

Код Номера регионов России (см. Автомобильные коды)


       Автомобильные коды регионов России

 01  Республика Адыгея
 02  Республика Башкортостан (также 102)
 03  Республика Бурятия
 04  Республика Алтай
 05  Республика Дагестан
 06  Республика Ингушетия
 07  Кабардино-Балкарская Республика
 08  Республика Калмыкия
 09  Карачаево-Черкесская Республика
 10  Республика Карелия
 11  Республика Коми
 12  Республика Марий Эл
 13  Республика Мордовия (также 113) 
 14  Республика Саха (Якутия)
 15  Республика Северная Осетия
 16  Республика Татарстан (также 116)
 17  Республика Тыва (Тува)
 18  Удмуртская Республика (также 118)
 19  Республика Хакасия
 20  Чеченская Республика (также 95)
 21  Чувашская Республика (также 121)
 22  Алтайский край
 23  Краснодарский край (также 93, 123)
 24  Красноярский край (также 84, 88, 124)
 25  Приморский край (также 125)
 26  Ставропольский край (также 126)
 27  Хабаровский край
 28  Амурская область
 29  Архангельская область
 30  Астраханская область
 31  Белгородская область
 32  Брянская область
 33  Владимирская область
 34  Волгоградская область (также 134)
 35  Вологодская область
 36  Воронежская область (также 136)
 37  Ивановская область
 38  Иркутская область (также 85, 138)
 39  Калининградская область (также 91)
 40  Калужская область
 41  Камчатский край
 42  Кемеровская область (также 142)
 43  Кировская область
 44  Костромская область
 45  Курганская область
 46  Курская область
 47  Ленинградская область
 48  Липецкая область
 49  Магаданская область
 50  Московская область (также 90, 150, 190, 750)
 51  Мурманская область
 52  Нижегородская область (также 152)
 53  Новгородская область
 54  Новосибирская область (также 154)
 55  Омская область
 56  Оренбургская область
 57  Орловская область
 58  Пензенская область
 59  Пермская область (также 81, 159)
 60  Псковская область
 61  Ростовская область (также 161)
 62  Рязанская область
 63  Самарская область (также 163)
 64  Саратовская область (также 164)
 65  Сахалинская область
 66  Свердловская область (также 96, 196)
 67  Смоленская область
 68  Тамбовская область
 69  Тверская область
 70  Томская область
 71  Тульская область
 72  Тюменская область
 73  Ульяновская область (также 173)
 74  Челябинская область (также 174)
 75  Забайкальский край (также 80)
 76  Ярославская область
 77  г. Москва (также 97, 99, 177, 197, 199, 777)
 78  г. Санкт-Петербург (также 98, 178)
 79  Еврейская автономная область
 80 

Забайкальский край (также 75) (до марта 2008 года код принадлежал Агинскому Бурятскому АО, после создания Забайкальского края выдача кода прекращена)
 81 Пермский край (также 59, 159) (до декабря 2005 года код принадлежал Коми-Пермяцкому АО, после создания Пермского края выдача кода прекращена)
 82  Республика Крым (с марта-2014г, административный центр Симферополь) (92 — Севастополь) (до июля 2007 года код принадлежал Корякскому АО, после создания Камчатского края выдача кода прекращена)
 83  Ненецкий автономный округ
 84  Красноярский край (также 24, 88, 124) (до 2007 года код принадлежал Таймырскому АО, после объединения с Красноярским краем выдача кода прекращена)
 85  Иркутская область (также 85, 38) (до 2008 года код принадлежал Усть-Ордынскому Бурятскому АО, после объединения с Иркутской областью выдача кода прекращена)
 86  Ханты-Мансийский автономный округ Югра (также 186)
 87  Чукотский автономный округ
 88  Красноярский край (также 84, 24, 124) (до 2007 года код принадлежал Эвенкийскому АО, после объединения с Красноярским краем выдача кода прекращена)
 89  Ямало-Ненецкий автономный округ
 90  Московская область (также 50, 150, 190, 750)
 91  Калининградская область (также 39)
 92 г. Севастополь (с марта-2014г) (82 — Республика Крым)
 93  Краснодарский край (также 23, 123)
 94  Территории, находящиеся за пределами РФ и обслуживаемые Управлением режимных объектов МВД (Байконур)
 95  Чеченская Республика (также 20)
 96  Свердловская область (также 66, 196)
 97  г. Москва (также 77, 99, 177, 197, 199, 777)
 98  г. Санкт-Петербург (также 78, 178)
 99  г. Москва (также 77, 97, 177, 197, 199, 777)
102 Республика Башкортостан (также 02)
113  Республика Мордовия (также 13)
116 Республика Татарстан (также 16)
118 Удмуртская Республика (также 18)
121 Чувашская Республика (также 21)
123 Краснодарский край (также 93, 123)
124  Красноярский край (также 84, 88, 24)
125 Приморский край (также 25)
126 Ставропольский край (также 26)
134 Волгоградская область (также 34)
136 Воронежская область (также 36)
138 Иркутская область (также 38)
142  Кемеровская область (также 42)
150 Московская область (также 50, 90, 150, 190, 750)
152 Нижегородская область (также 52)
154 Новосибирская область (также 54)
159 Пермская область (также 59, 81)
161 Ростовская область (также 61)
163 Самарская область (также 63)
164 Саратовская область (также 64)
173 Ульяновская область (также 73)
174 Челябинская область (также 74)
177 г. Москва (также 77, 97, 99, 197, 199, 777)
178 г. Санкт-Петербург (также 78, 98)
186 Ханты-Мансийский автономный округ Югра (также 86)
190  Московская область (также 50, 90, 150, 750)
196 Свердловская область (также 66, 196)
197 г. Москва (также 77, 97, 99, 177, 199, 777)
199 г. Москва (также 77, 97, 99, 177, 197, 777)
750  Московская область (также 50, 90, 150, 190, 750)
777  г. Москва (также 77, 97, 99, 177, 197, 199)
Регистрационные знаки маршрутных транспортных средств[1]. Устанавливаются на автобусах, такси и на транспортных средствах, осуществляющих перевозку пассажиров на коммерческой основе («маршрутках»).
Формат: 2 буквы — 3 цифры. Изготавливаются на светоотражающей пластине
тёмно-жёлтого цвета с чёрными буквенно-цифровыми комбинациями. Флаг РФ
под кодом региона регистрации отсутствует.
Регистрационные знаки транспортных средств МВД РФ. Были официально утверждены в 2002
году. Устанавливаются на легковые и грузовые автомобили, мотоциклы и
прицепы. Формат: буква — 4 цифры. Цифровой код, указывающийся в правой
части номерного знака также, как и на большинстве других номеров РФ,
обозначает регион регистрации. Исключение: код 77, указывающий на принадлежность транспортного средства к МВД РФ (своеобразный «федеральный»



Регистрационные знаки транспортных средств, числящихся за воинскими формированиями федеральных органов исполнительной власти РФ.
Устанавливаются на транспортные средства, принадлежащие войсковым
частям. Номерные знаки данного типа выполняются на несветоотражающей
пластине. Формат: 4 цифры — 2 буквы. Основную информацию несёт код в
правой части номера, который не совпадает с кодами регионов РФ, а
показывает принадлежность транспортного средства к конкретному военному
округу Российской Федерации, роду вооружённых сил, либо федеральному
органу исполнительной власти, в которых законодательством предусмотрена
военная служба (см. таблицу кодов ниже).



  • 01 — прочие
  • 09 — спецстрой

  • 10 — ФСБ РФ

  • 11 — ВВ МВД РФ

  • 12 — ранее ФПС РФ

  • 14 — ФС желдорвойск РФ
  • 15 — ВВ МВД РФ
  • 16 — ранее ФАПСИ

  • 17 — ЦС ОСТО РФ

  • 18 — МЧС РФ
  • 19 — ВВ МВД РФ
  • 20 — ФДСУ МО РФ

  • 21 — СКВО

  • 23 — РВСН

  • 25 — ДальВО

  • 27 — Войска ПВО

  • 29 — 9 ЦУ МО РФ

  • 32 — ЗабВО

  • 34 — ВВС

  • 39 — 12-й Главк МО РФ

  • 43 — ЛенВО

  • 45 — ВМФ

  • 50 — МВО

  • 56 — ВКС

  • 65 — ПриВО

  • 67 — ВДВ

  • 76 — УрВО

  • 77 — Автобазы МО РФ и ГШ

  • 81 — ГВСУ МО РФ

  • 82 — ГУС МО РФ

  • 83 — ГУ стройпрома МО РФ

  • 84 — Главное квартирно-эксплуатационное управление МО РФ

  • 87 — СибВО

  • 90 — Черноморский флот

  • 91 — 11 отдельная армия

  • 92 — 201-я МСД (Таджикистан)

  • 93 — ОГРВ в Приднестровье

  • 94 — ГРВЗ

  • 97 — МВО

  • 99 — ВАИ

Таблица цифровых кодов знаков ТС дипломатических представительств


Регистрационные знаки транспортных средств дипломатических представительств и торговых представительств иностранных компаний.
Основную информацию на таком номерном знаке несут первые три цифры
кода, а также последующая буква (-ы). Цифровой код указывает на
принадлежность к определённому иностранному государству (см. таблицу кодов ниже), расшифровка буквенного префикса следующая:

  • CD — автомобиль с данным регистрационным знаком
    зарегистрирован на посла или иное лицо в ранге главы дипломатического
    представительства.
  • CC — автомобиль с данным регистрационным знаком
    зарегистрирован на консула или иное лицо в ранге главы консульского
    представительства.

  • D — означает, что регистрационный номер выдан на автомобиль,
    принадлежащий дипломатическому представительству, консульскому
    учреждению, международной организации или сотруднику такого
    представительства (учреждения, организации), обладающего
    дипломатическим статусом.
  • T — номер выдан на автомобиль сотрудника дипломатического
    представительства, консульского учреждения, международной организации,
    не обладающего дипломатическим статусом (административно-технический
    персонал).
Код ГИБДД-ГАИ    Дипломатическое представительство

001
    Великобритания Великобритания
002
    Германия Германия
003
    Канада Канада
004
    Соединённые Штаты Америки США
005
    Япония Япония
006
    Испания Испания
007
    Франция Франция
008
    Бельгия Бельгия
009
    Греция Греция
010
    Дания Дания
011
    Италия Италия
012
    Люксембург Люксембург
013
    Нидерланды Нидерланды
014
    Норвегия Норвегия
015
    Турция Турция
016
    Австралия Австралия
017
    Австрия Австрия
018
    Алжир Алжир
019
    Египет Египет
020
    Руанда Руанда
021
    Аргентина Аргентина
022
    Афганистан Афганистан
023
    Мьянма Мьянма
024
    Боливия Боливия
025
    Бразилия Бразилия
026
    Бурунди Бурунди
027
    Гана Гана
028
    Бангладеш Бангладеш
029
    Гвинея Гвинея
030
    Замбия Замбия
031
    Перу Перу
032
    Индия Индия
033
    Индонезия Индонезия
034
    Иордания Иордания
035
    Ирак Ирак
036
    Иран Иран
037
    Республика Ирландия Ирландия
038
    Исландия Исландия
039
    Камбоджа Камбоджа
040
    Кения Кения
041
    Республика Кипр Кипр
042
    Республика Конго Республика Конго
043
    Коста-Рика Коста-Рика
044
    Кувейт Кувейт
045
    Лаос Лаос
046
    Либерия Либерия
047
    Ливан Ливан
048
    Ливия Ливия
049
    Мали Мали
050
    Марокко Марокко
051
    Мексика Мексика
052
    Непал Непал
053
    Нигерия Нигерия
054
    Венесуэла Венесуэла
055
    Новая Зеландия Новая Зеландия
056
    Пакистан Пакистан
057
    Буркина Фасо Буркина Фасо
058
    Сенегал Сенегал
060
    Сомали Сомали
061
    Судан Судан
062
    Сьерра-Леоне Сьерра-Леоне
063
    Таиланд Таиланд
064
    Танзания Танзания
065
    Тунис Тунис
066
    Уганда Уганда
067
    Уругвай Уругвай
068
    Филиппины Филиппины
069
    Финляндия Финляндия
070
    Шри-Ланка Шри-Ланка
071
    Чад Чад
072
    Швейцария Швейцария
073
    Швеция Швеция
074
    Эквадор Эквадор
075
    Эфиопия Эфиопия
076
    Ангола Ангола
077
    Демократическая Республика Конго ДР Конго
078
    Колумбия Колумбия
079
    Камерун Камерун
080
    Гвинея-Бисау Гвинея-Бисау
081
    Португалия Португалия
082
    Болгария Болгария
083
    Венгрия Венгрия
084, 161
    Вьетнам Вьетнам
086
    Польша Польша
087
    Корейская Народно-Демократическая Республика КНДР
088
    Куба Куба
089
    Монголия Монголия
090
    Китайская Народная Республика КНР
091
    Румыния Румыния
093
    Сербия Сербия
094
    Бенин Бенин
095
    Габон Габон
096
    Гайана Гайана
097
    Мавритания Мавритания
098
    Мадагаскар Мадагаскар
099
    Малайзия Малайзия
100
    Нигер Нигер
101
    Сингапур Сингапур
102
    Того Того
103
    Центральноафриканская Республика ЦАР
104
    Ямайка Ямайка
105
    Йемен Йемен
107
    Государство Палестина Палестина
108
    Никарагуа Никарагуа
109
    Мозамбик Мозамбик
110
    Экваториальная Гвинея Экваториальная Гвинея
111
    Мальтийский орден Мальтийский орден
112
    Мальта Мальта
113
    Кабо-Верде Кабо-Верде
115
    Зимбабве Зимбабве
116
    Объединённые Арабские Эмираты ОАЭ
117
    Кот-д’Ивуар Кот-д’Ивуар
118
    Намибия Намибия
120
    Оман Оман
121
    Катар Катар
124
    Республика Корея Республика Корея
125
    Чили Чили
126
    Панама Панама
127
    Израиль Израиль
128
    Республика Македония Македония
129
    Албания Албания
131
    Ватикан Ватикан
132
    Литва Литва
133
    Сирия Сирия
134
    Эстония Эстония
135
    Латвия Латвия
136
    Бахрейн Бахрейн
137
    Южно-Африканская Республика Южно-Африканская Республика
138
    Армения Армения
140
    Саудовская Аравия Саудовская Аравия
141
    Словения Словения
142
    Узбекистан Узбекистан
143
    Киргизия Киргизия
144
    Хорватия Хорватия
145
    Азербайджан Азербайджан
146
    Украина Украина
147
    Молдавия Молдавия
148
    Чехия Чехия
149
    Словакия Словакия
150
    Белоруссия Белоруссия
151
    Таджикистан Таджикистан
152
    Туркмения Туркмения
153
    Казахстан Казахстан
154
    Гватемала Гватемала
155
    Босния и Герцеговина Босния и Герцеговина
156
    Эритрея Эритрея
157
    Парагвай Парагвай
158
    Грузия Грузия
159
    Бруней Бруней
160
    Гамбия Гамбия
162
    Маврикий Маврикий
163
    Доминиканская Республика Доминиканская Республика
164
    Абхазия Республика Абхазия
165
    Южная Осетия Южная Осетия
499    Европа Комиссия Европейских сообществ
500    Европейский банк реконструкции и развития
503    Лига Арабских Государств Лига Арабских Государств
504    Международный банк реконструкции и развития
505    Международный валютный фонд.pngМеждународный валютный фонд
506    Международная организация по миграции
507    Flag of the IFRC.svgМеждународная федерация Обществ Красного Креста и Красного Полумесяца
508    Flag of the Red Cross.svg Международный Комитет Красного Креста
509    Международная финансовая корпорация
510    Организация Объединённых Наций ООН Организация Объединённых Наций по промышленному развитию
511    Организация Объединённых Наций ООН Организация Объединённых Наций
512    ЮНЕСКО ЮНЕСКО Организация Объединённых Наций по вопросам образования, науки и культуры
514    Международный банк экономического сотрудничества
515    Международный инвестиционный банк
516    Международная организация космической связи «Интерспутник»
517    Международный центр научной и технической информации
518    Международный научно-технический центр
520    Международная организация труда
521    Международная организация по экономическому и научно-техническому сотрудничеству в области электротехнической промышленности «Интерэлектро»
522    Координационный центр Межправительственной Комиссии по сотрудничеству в области вычислительной техники
523    Содружество Независимых Государств СНГ Исполнительный комитет Содружества Независимых Государств
524    Европейское космическое агентство
525    Евразийская патентная организация
527    Содружество Независимых Государств СНГ Штаб по координации военного сотрудничества государств — участников Содружества Независимых Государств
528    Межгосударственный банк
529    ЕврАзЭС.pngЕвразийское экономическое сообщество
530    Международный научно-исследовательский институт проблем управления
531    CSTOODKB.pngОрганизация Договора о коллективной безопасности
532    Содружество Независимых Государств СНГ Межгосударственный Статистический Комитет Содружества Независимых Государств
533    Содружество Независимых Государств СНГ Секретариат Совета Межпарламентской Ассамблеи государств — участников Содружества Независимых Государств
534    Евразийский банк развития
900     Консульские учреждения, возглавляемые почётными консульскими должностными лицами, и почетные консульские должностные лица

теги: автомобильные коды России, автомобильные номера РФ, коды Российской федерации, автомобильная нумерация России, коды регионов России

Автомобильные коды регионов в 2021 году на номерах России

Добрый день, уважаемый читатель.

В этой статье речь пойдет про государственные регистрационные знаки (автомобильные номера). Номера присваиваются автомобилю во время его регистрации в ГИБДД и остаются на своем месте до тех пор, пока один из следующих владельцев не решит их заменить, либо регистрация автомобиля не будет прекращена.

Регистрационные знаки являются уникальными, т.е. не может существовать одинаковых номеров у двух разных автомобилей одновременно. Номера всегда отличаются хотя бы на одну букву или цифру. Сегодня будут рассмотрены особенности и порядок выдачи автомобильных номеров, а также автомобильные коды регионов на номерах.

Содержание статьи:

Порядок выдачи номеров в России

Рассмотрим самый распространенный вид номеров в Российской Федерации:

Именно такие номера устанавливаются на большинство автомобилей.

На первый взгляд номер состоит из случайной последовательности букв и цифр. На самом деле не все здесь так просто.

На автомобильных номерах используются все цифры от 0 до 9. Однако в отличие от цифр, не все буквы русского алфавита могут оказаться на номерах. Такая привилегия дана только тем буквам, которые имеют схожие по написанию символы в латинском алфавите. Т.е. на автономерах могут использоваться только буквы А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х.

Об этом факте Вы могли узнать и раньше, но вот следующая мысль наверняка покажется Вам интересной. Речь пойдет о том, в каком порядке выдаются номера.

Номера выдаются по порядку (кроме специальных серий). Однако порядок изменения символов в номере далек от нормального восприятия. Символы меняются не справа налево, а несколько по-другому — в достаточно запутанной последовательности.

1. Чаще всего в автомобильном номере меняется 3я цифра (на рисунке это цифра 6).
После номера Т356ОК будет выдан номер Т357ОК.

2. Второй по частоте изменения символ — 2я цифра (на рисунке 5).
После номера Т359ОК будет выдан номер Т360ОК.

3. Третий по частоте символ — 1я цифра (на рисунке 3).
После номера Т399ОК будет выдан номер Т400ОК.

С цифрами вроде бы все в порядке, но того же самого нельзя сказать о буквах.

4. Четвертый по частоте символ — 1я буква (на рисунке Т).
После номера Т999ОК будет выдан номер У001ОК.

5. Пятый по частоте символ — 3я буква (на рисунке К).
После номера Х999ОК будет выдан номер А001ОМ.

6. Шестой по частоте символ — 2я буква (на рисунке О).
После номера Х999ОХ будет выдан номер А001РА.

Порядок достаточно сложен, так что если не поняли его с первого раза, перечитайте пункты 1-6 еще раз.

Символы в левой части регистрационного знака, которые рассматривались выше, отвечают за номера автомобилей внутри конкретного региона. Кстати, любителям статистики сообщаю, что с одним кодом региона может быть выдано не более чем 1 млн 726 тыс 272 автомобильных регистрационных знаков.

После исчерпания такого лимита происходит изменение номера региона России, записанного в правой части номера. Начиная с этого момента номера начинают выдаваться заново внутри нового региона. Каждому субъекту Российской Федерации соответствует собственный код, а некоторым субъектам федерации, имеющим очень большое число автомобилей, присвоены одновременно несколько кодов региона.

Таблица автомобильных кодов регионов 2021 года

КодСубъект Российской Федерации
01Республика Адыгея (Адыгея)
02, 102, 702Республика Башкортостан
03Республика Бурятия
04Республика Алтай
05Республика Дагестан
06Республика Ингушетия
07Кабардино-Балкарская Республика
08Республика Калмыкия
09Карачаево-Черкесская Республика
10Республика Карелия
11Республика Коми
12Республика Марий Эл
13, 113Республика Мордовия
14Республика Саха (Якутия)
15Республика Северная Осетия — Алания
16, 116, 716Республика Татарстан (Татарстан)
17Республика Тыва
18Удмуртская Республика
19Республика Хакасия
21, 121Чувашская Республика — Чувашия
22Алтайский край
23, 93, 123, 193Краснодарский край
24, 124Красноярский край
25, 125Приморский край
26, 126Ставропольский край
27Хабаровский край
28Амурская область
29Архангельская область
30Астраханская область
31Белгородская область
32Брянская область
33Владимирская область
34, 134Волгоградская область
35Вологодская область
36, 136Воронежская область
37Ивановская область
38, 138Иркутская область
39Калининградская область
40Калужская область
41Камчатский край
42, 142Кемеровская область
43Кировская область
44Костромская область
45Курганская область
46Курская область
47, 147Ленинградская область
48Липецкая область
49Магаданская область
50, 90, 150, 190, 750Московская область
51Мурманская область
52, 152Нижегородская область
53Новгородская область
54, 154Новосибирская область
55Омская область
56, 156Оренбургская область
57Орловская область
58Пензенская область
59, 159Пермский край
60Псковская область
61, 161, 761Ростовская область
62Рязанская область
63, 163, 763Самарская область
64, 164Саратовская область
65Сахалинская область
66, 96, 196Свердловская область
67Смоленская область
68Тамбовская область
69Тверская область
70Томская область
71Тульская область
72Тюменская область
73, 173Ульяновская область
74, 174Челябинская область
75Забайкальский край
76Ярославская область
77, 97, 99, 177, 197, 199, 777, 797, 799г. Москва
78, 98, 178, 198г. Санкт-Петербург
79Еврейская автономная область
82Республика Крым
83Ненецкий автономный округ
86, 186Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
87Чукотский автономный округ
89Ямало-Ненецкий автономный округ
92г. Севастополь
95Чеченская республика

Устаревшие коды регионов

КодСубъект Российской ФедерацииПримечание
20Чеченская республикадо 2000 года
80Забайкальский крайдо 2020 года
81Пермский крайдо 2020 года
84Красноярский крайдо 2020 года
85Иркутская областьдо 2020 года
88Красноярский крайдо 2020 года
91Калининградская область
94Территории, находящиеся за пределами Российской Федерации и обслуживаемые органами внутренних дел Российской Федерациидо 2020 года

Скачать таблицу автомобильных кодов регионов России

Предлагаю Вам скачать таблицу автомобильных номеров регионов России, предназначенную для печати (нажмите на изображение для увеличения):

Также Вы можете скачать автомобильные коды регионов и в формате pdf:

Трехзначные коды регионов, начинающиеся на цифру 2

В художественных фильмах и телевизионных передачах можно увидеть трехзначные коды регионов начинающиеся на цифру 2 или 3. Например, водители часто интересуются, к какому городу относятся регионы 200, 202, 203, 211, 225, 236, 277 или 303.

До 26 марта 2020 года установка номеров с такими кодами регионов являлась незаконной.

Однако начиная с 26 марта 2020 года в качестве первого символа кода региона может использоваться абсолютно любая цифра. Этот вопрос регламентирован Приложением 1 к приказу «О государственных регистрационных знаках транспортных средств»:

Примечание. На государственных регистрационных знаках транспортных средств, отнесенных к типу 1, допускается применять в трехзначном коде региона в качестве первой цифры кода цифры «1» — «9».

Таким образом, если Вы встретили автомобиль с одним из приведенных выше кодов региона, то Вы можете легко определить место прописки его владельца:

КодРегион
202Республика Башкортостан
203Республика Бурятия
211Республика Коми
225Приморский край
236Воронежская область
265Сахалинская область
277г. Москва
303Республика Бурятия

Примечание. В 2021 году номера, где в качестве первого символа кода региона используется цифра 2 или 3, фактически не выдаются, т.к. до указанных серий ГИБДД пока что не дошло.

Что касается номеров с кодами, заканчивающимися двумя нулями, то установка таких номеров является незаконной, т.к. региона с номером 00 не существует.

Кстати, если Вы видели автомобили с номерами регионов, которых нет в приведенной выше таблице, напишите об этом в комментариях.

Обратите внимание, что по количеству автомобильных кодов, принадлежащих тому или иному региону, можно с большой точностью оценить количество транспортных средств в нем. Так число автомобилей в г. Москва в настоящее время около 13,5 миллионов.

Примечание. С 15 октября 2013 года по 31 декабря 2019 года автовладельцы могли официально получить номера с кодом региона, который не соответствует месту их прописки. В этом промежутке было выдано большое количество номеров с «чужими» кодами регионов и такие автомобили на дорогах можно встретить довольно часто. В связи с этим код региона на номерах не всегда совпадает с действительным местом проживания автовладельца.

В 2021 году при регистрации автомобилю присваивается номер с кодом региона, соответствующим прописке автовладельца. Так что со временем на большинстве автомобилей будут установлены номера со своими регионами. И по приведенной выше таблице можно будет понять, из какого региона автовладелец.

А что Вы знаете интересного про автомобильные номера и номера регионов на них?

Удачи на дорогах!

В России появятся новые коды регионов на автомобильных номерах :: Общество :: РБК

Теперь, например, автовладельцам Алтайского края будут присваивать номера с кодом 222, Омской области — 555, Свердловской области — 666. Для жителей Москвы станет доступна комбинация с кодом 999.

Минэкономразвития назвало среднюю цену за «красивые» номера для машин

Читайте на РБК Pro

Глава Союза производителей госрегзнаков транспортных средств Людмила Шерстнева в беседе с «Коммерсантом», комментируя ситуацию с номерами в Москве, где остались две доступные серии, 777 и 799, заявила, что их хватит еще на «пару лет». В столичной Госавтоинспекции пока не испытывают дефицита комбинаций, утверждает источник газеты в полиции, знакомый с ситуацией.

Директор ООО «Автознак» Дмитрий Аверьянов заявил РБК, что компания может наладить выпуск новых номеров так скоро, как будет нужно. Это не потребует дополнительных затрат.

В АО «Концерн Знак» подчеркнули, что проблем с производством новых номеров возникнуть не должно. «Это зависит от конфигурации оборудования, которое есть у изготовителей. Условно, может быть оборудование, которое будет зажевывать окантовку. Но у нас все нормально. Мы пробовали, проверяли», — сказал представитель компании.

Индивидуальный предприниматель Денис Монин, занимающийся производством дубликатов номеров, также заверил РБК, что добавление цифр в номера не приведет к трудностям. «У нас эти цифры есть в наличии. Если они будут повторяться, нам абсолютно без разницы», — сказал он.

В России изначально в качестве указания кода региона на автомобильном знаке применялись только двузначные числа. Однако в связи с ежегодным увеличением количества регистрируемых автомобилей номеров начало не хватать. В связи с этим с 2005 года в стране появились номера с трехзначными кодами регионов. Первопроходцем тогда стала Москва, после того как закончились серии 77, 99 и 97. Позднее опыт столицы переняли и другие регионы.

Авторы

Михаил Юшков, Алена Прохоренко, Любовь Порываева

5.6 Расчет центров масс и моментов инерции — Calculus Volume 3

Цели обучения

  • 5.6.1 Используйте двойные интегралы для определения центра масс двухмерного объекта.
  • 5.6.2 Используйте двойные интегралы, чтобы найти момент инерции двумерного объекта.
  • 5.6.3 Используйте тройные интегралы для определения центра масс трехмерного объекта.

Мы уже обсудили несколько применений множественных интегралов, таких как нахождение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области.В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью. Плотность обычно считается постоянным числом, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

Центр масс в двух измерениях

Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле.Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке 5.64 показана точка PP как центр масс пластинки. Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

Рис. 5.64 Пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе.

Чтобы найти координаты центра масс P (x−, y−) P (x−, y−) пластинки, нам нужно найти момент MxMx пластинки относительно оси x оси x и момент MyMy об оси y.ось y. Еще нам нужно найти массу пластинки в миллиметрах. Тогда

x− = Mymandy− = Mxm.x− = Mymandy− = Mxm.

Обратитесь к разделу «Моменты и центры масс» для получения определений и методов однократного интегрирования для нахождения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня). Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.

Если мы допускаем постоянную функцию плотности, то x− = Mymandy− = Mxmx− = Mymandy− = Mxm дает центроида пластинки.

Предположим, что пластинка занимает область RR в плоскости xy, плоскости xy, и пусть ρ (x, y) ρ (x, y) будет ее плотностью (в единицах массы на единицу площади) в любой точке (x , у). (х, у). Следовательно, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, где ΔmΔm и ΔAΔA — масса и площадь небольшого прямоугольника, содержащего точку (x, y) (x, y) и предел берется, поскольку размеры прямоугольника идут до 00 (см. следующий рисунок).

Рис. 5.65. Плотность пластинки в точке — это предел ее массы на площадь в небольшом прямоугольнике вокруг точки, когда площадь стремится к нулю.

Как и раньше, мы разделим область RR на крошечные прямоугольники RijRij с площадью ΔAΔA и выберем (xij *, yij *) (xij *, yij *) в качестве точек выборки. Тогда масса mijmij каждого RijRij равна ρ (xij *, yij *) ΔAρ (xij *, yij *) ΔA (рисунок 5.66). Пусть kk и ll — количество подынтервалов в xx и y, y соответственно. Также обратите внимание, что форма не всегда может быть прямоугольной, но ограничение все равно работает, как показано в предыдущих разделах.

Рис. 5.66. Разделение пластинки на крошечные прямоугольники Rij, Rij, каждый из которых содержит точку выборки (xij *, yij *).(xij *, yij *).

Следовательно, масса пластинки

m = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.m = limk , l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.

5,13

Давайте посмотрим на пример определения полной массы треугольной пластинки.

Пример 5.55

Определение полной массы пластинки

Рассмотрим треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и плотностью ρ (x, y ) = xy кг / м2.ρ (x, y) = xy кг / м2. Найдите общую массу.

Решение

Набросок области RR всегда полезен, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 5.67. Пластинка в плоскости xy-planexy с плотностью ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy.

Используя выражение, разработанное для массы, мы видим, что

m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.

Расчет прост и дает ответ m = 278kg.m = 278kg.

КПП 5,33

Рассмотрим ту же область RR, что и в предыдущем примере, и используем функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите общую массу. Подсказка: Используйте тригонометрическую замену x = 3sinθx = 3sinθ, а затем используйте формулы уменьшения степени для тригонометрических функций.

Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.Момент MxMx относительно оси x оси x для RR является пределом сумм моментов областей RijRij вокруг оси x. оси x. Следовательно,

Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.

5,14

Аналогично, момент MyMy вокруг оси y для RR является пределом сумм моментов областей RijRij вокруг оси y.оси y. Следовательно,

My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.

5,15

Пример 5.56

В поисках моментов

Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (3,0) (0,0), (0,3), (3,0) и плотностью ρ (x, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите моменты MxMx и My.My.

Решение

Используйте двойные интегралы для каждого момента и вычислите их значения:

Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.

Расчет довольно прост.

КПП 5,34

Рассмотрим ту же пластину RR, что и выше, и воспользуемся функцией плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите моменты MxMx и My.My.

Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в терминах интегралов. Обозначим координату центра масс x через x − x− и координату y через y − .y−. В частности,

x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.

5,16

Пример 5.57

Нахождение центра масс

Снова рассмотрим ту же треугольную область RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и с функцией плотности ρ ( х, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите центр масс.

Решение

По разработанным формулам имеем

x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.

Следовательно, центром масс является точка (65,65). (65,65).

Анализ

Если мы выберем плотность ρ (x, y) ρ (x, y) вместо однородной по всей области (т. Е. Постоянной), такой как значение 1 (подойдет любая константа), то мы можем вычислить центроид,

xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1, yc = Mxm∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1. xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1, yc = Mxm∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1.

Обратите внимание, что центр масс (65,65) (65,65) не совсем такой же, как центроид (1,1) (1,1) треугольной области.Это связано с переменной плотностью R.R. Если плотность постоянна, мы просто используем ρ (x, y) = cρ (x, y) = c (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

КПП 5,35

Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите центр масс.

Еще раз, основываясь на комментариях в конце Примера 5.57, у нас есть выражения для центроида области на плоскости:

xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.

Мы должны использовать эти формулы и проверить центроид треугольной области RR, упомянутой в последних трех примерах.

Пример 5.58

Определение массы, моментов и центра масс

Найти массу, моменты и центр масс пластинки с плотностью ρ (x, y) = x + yρ (x, y) = x + y, занимающей область RR под кривой y = x2y = x2 в интервал 0≤x≤20≤x≤2 (см. следующий рисунок).

Рис. 5.68. Определение центра масс пластинки RR с плотностью ρ (x, y) = x + y.р (х, у) = х + у.
Решение

Сначала мы вычисляем массу m.m. Нам нужно описать область между графиком y = x2y = x2 и вертикальными линиями x = 0x = 0 и x = 2: x = 2:

m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | x = 0x = 2 = 365.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | х = 0х = 2 = 365.

Теперь вычислим моменты MxMx и My: My:

Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.

Наконец, оцените центр масс,

x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063. x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063.

Следовательно, центр масс равен (x−, y -) = (4427,10063). (X−, y -) = (4427,10063).

КПП 5,36

Рассчитайте массу, моменты и центр масс области между кривыми y = xy = x и y = x2y = x2 с функцией плотности ρ (x, y) = xρ (x, y) = x в интервал 0≤x≤1.0≤x≤1.

Пример 5.59

В поисках центроида

Найдите центр тяжести области под кривой y = exy = ex на интервале 1≤x≤31≤x≤3 (см. Следующий рисунок).

Рис. 5.69. Нахождение центра тяжести области ниже кривой y = ex.y = ex.
Решение

Чтобы вычислить центроид, мы предполагаем, что функция плотности постоянна и, следовательно, она сокращается:

xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).

Таким образом, центр тяжести области

(xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)). (xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)).

КПП 5,37

Вычислить центр тяжести области между кривыми y = xy = x и y = xy = x с равномерной плотностью в интервале 0≤x≤1.0≤x≤1.

Моменты инерции

Для ясного понимания того, как рассчитывать моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению моментов и центров масс в Разделе 6.6 Тома 1. Момент инерции частицы массой мм относительно ось mr2, mr2, где rr — расстояние частицы от оси. Из рисунка 5.66 видно, что момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси x оси x равен (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA.(yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Точно так же момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси y равен (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. (Xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Момент инерции связан с вращением массы; в частности, он измеряет тенденцию массы сопротивляться изменению вращательного движения вокруг оси.

Момент инерции IxIx относительно оси x оси x для области RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij относительно оси x. оси x. Следовательно,

Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.

Точно так же момент инерции IyIy относительно оси y для RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij относительно оси y.оси y. Следовательно,

Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.

Иногда нам нужно найти момент инерции объекта относительно начала координат, который известен как полярный момент инерции.Обозначим его I0I0 и получим, сложив моменты инерции IxIx и Iy.Iy. Следовательно,

I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.

Все эти выражения можно записать в полярных координатах, подставив x = rcosθ, x = rcosθ, y = rsinθ, y = rsinθ и dA = rdrdθ.dA = rdrdθ. Например, I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.

Пример 5.60

Нахождение моментов инерции треугольной пластинки

Используйте треугольную область RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x, y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите моменты инерции.

Решение

Используя установленные выше выражения для моментов инерции, имеем

Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8. Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x , y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8.

КПП 5,38

Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.р (х, у) = ху. Найдите моменты инерции.

Как упоминалось ранее, момент инерции частицы массой мм вокруг оси равен mr2mr2, где rr — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения.

Следовательно, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат равны

Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m, Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m,

соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, на каком расстоянии (перпендикулярном расстоянии) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

Пример 5.61

Определение радиуса вращения треугольной пластинки

Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x , y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.

Решение

Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что m = 2.m = 2. Мы нашли моменты инерции этой пластинки в Примере 5.58. Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно равны

. Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2, Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2.

КПП 5,39

Используйте ту же область RR из примера 5.61 и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.

Центр масс и моменты инерции в трех измерениях

Все выражения двойных интегралов, обсуждавшиеся до сих пор, могут быть изменены, чтобы стать тройными интегралами.

Определение

Если у нас есть твердый объект QQ с функцией плотности ρ (x, y, z) ρ (x, y, z) в любой точке (x, y, z) (x, y, z) в пространстве, то его масса

m = ∭Qρ (x, y, z) dV.m = ∭Qρ (x, y, z) dV.

Его моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz равны

Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.

Если центром масс объекта является точка (x−, y−, z−), (x−, y−, z−), то

x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym. x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym.

Также, если твердый объект однороден (с постоянной плотностью), то центр масс становится центроидом твердого тела.Наконец, моменты инерции относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны

. Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x , y, z) dV. Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q ( x2 + y2) ρ (x, y, z) dV.

Пример 5.62

Определение массы твердого тела

Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями, и имеет плотность ρ (x, y, z) = x2yz.ρ (x, y, z) = x2yz. Найдите общую массу.

Решение

Область QQ представляет собой тетраэдр (рисунок 5.70) пересекаются с осями в точках (6,0,0), (0,3,0), (6,0,0), (0,3,0) и (0,0,2). ( 0,0,2). Чтобы найти пределы интегрирования, пусть z = 0z = 0 в наклонной плоскости z = 13 (6 − x − 2y) .z = 13 (6 − x − 2y). Затем для xx и yy найдите проекцию QQ на плоскость xy, плоскость xy, которая ограничена осями и прямой x + 2y = 6.x + 2y = 6. Отсюда масса

m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835 ≈3.086.m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835≈3,086. Рисунок 5.70 Определение массы трехмерного твердого тела Q.Q.

КПП 5,40

Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и воспользуемся функцией плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите массу.

Пример 5.63

Нахождение центра масс твердого тела

Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная плоскостью x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz ( см. рисунок 5.70). Найдите центр масс с помощью десятичного приближения.

Решение

Мы уже использовали этот тетраэдр и знаем пределы интегрирования, поэтому можем сразу приступить к вычислениям. Во-первых, нам нужно найти моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz: yz-plane:

Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yz2dzdydx = 5435 ≈1.543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2,314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x −2y) x3yzdzdydx = 24335≈6.943.Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yz2dzdydx = 5435≈1,543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x− 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2,314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 −x − 2y) x3yzdzdydx = 24335≈6,943.

Следовательно, центр масс

x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243 · 108 = 2,25, y− = Mxzm = 81/35108/35 = 81108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35108/35 = 54108 = 0,5. X− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243 · 108 = 2,25, y− = Mxzm = 81/35108/35 = 81108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35108/35 = 54108 = 0.5.

Центром масс тетраэдра QQ является точка (2,25,0,75,0,5). (2,25,0,75,0,5).

КПП 5.41

Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите центр масс.

Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции Ix, Iy, Ix, Iy и Iz.Iz.

Пример 5.64

Нахождение моментов инерции твердого тела

Предположим, что QQ — сплошная область и ограничена x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz (см. рисунок 5.70). Найдите моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy. Xy.

Решение

И снова мы можем почти сразу записать пределы интегрирования и, следовательно, мы можем быстро перейти к оценке моментов инерции. Используя формулу, сформулированную ранее, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz-planeyz равны

Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x , y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV,

и

Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.

Продолжая вычисления, получаем

Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈ 3.343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19,543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829. Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈3,343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) ( x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19.543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829.

Таким образом, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны 117 / 35,684 / 35 и 729 / 35,117 / 35,684 / 35 и 729/35 соответственно.

КПП 5,42

Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и воспользуемся функцией плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

Раздел 5.6. Упражнения

В следующих упражнениях область RR, занятая пластиной, показана на графике. Найдите массу RR с помощью функции плотности ρ.ρ.

297.

RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6 , 0); ρ (x, y) = xy.

298.

RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1), (0,5); ρ (x, y) = x + y. ( 0,5); ρ (x, y) = x + y.

299.

RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; (6,0); р (х, у) = ху.р (х, у) = ху.

300.

RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; (3,1); ρ (x, y) = x2y. ρ (x, y) = x2y.

301.

RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.

302.

RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

303.

RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.

304.

RR — дисковый агрегат; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.

305.

RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

306.

R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.

307.

RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2 ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

308.

RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 2x, y = 1, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).у = 2; р (х, у) = 4 (х + у).

В следующих упражнениях рассмотрим пластинку, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, данную в предыдущей группе упражнений. Используйте систему компьютерной алгебры (CAS), чтобы ответить на следующие вопросы.

  1. Найдите моменты MxMx и MyMy относительно оси x, оси x и оси y, оси y, соответственно.
  2. Вычислить и нанести на график центр масс пластинки.
  3. [T] Используйте CAS, чтобы найти центр масс на графике R.Р.
309.

[T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.

310.

[T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,0), ( 1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y.

311.

[T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); р (х, у) = ху. р (х, у) = ху.

312.

[T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); р (х, у) = х2у.р (х, у) = х2у.

313.

[T] RR — трапециевидная область, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; y = 2 и x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.

314.

[T] RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x , y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

315.

[T] RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.

316.

[T] RR — единичный диск; р (х, у) = 3х4 + 6х2у2 + 3у4.р (х, у) = 3х4 + 6х2у2 + 3у4.

317.

[T] RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

318.

[T] R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y ≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.

319.

[T] RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = x, y = −x, y = x + 2 и y = −x + 2; у = −x + 2; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

320.

[T] RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; y = 2x, y = 1 и y = 2; р (х, у) = 4 (х + у).р (х, у) = 4 (х + у).

В следующих упражнениях рассмотрим пластинку, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, заданную в первых двух группах упражнений.

  1. Найдите моменты инерции Ix, Iy, Ix, Iy и I0I0 относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
  2. Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
321.

RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy.(6,0); ρ (x, y) = xy.

322.

RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,5); ρ (x, y) = x + y.

323.

RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.

324.

RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; ρ (x, y) = x2y. (3,1); ρ (x, y) = x2y.

325.

RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; ρ (x, y ) = 3xy.х = 0; р (х, у) = 3xy.

326.

RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.

327.

RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.

328.

RR — дисковый агрегат; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.

329.

RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.

330.

R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.

331.

RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2 и y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2 иy = −x + 2. ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.

332.

RR — это область, ограниченная значениями y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y). Y = 1x, y = 2x, y = 1, andy = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).

333.

Пусть QQ будет твердым единичным кубом. Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ равна квадрату расстояния от произвольной точки QQ до плоскости xy. Xy.

334.

Пусть QQ будет твердой единичной полусферой.Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ пропорциональна расстоянию от произвольной точки QQ до начала координат.

335.

Твердое тело QQ постоянной плотности 11 расположено внутри сферы x2 + y2 + z2 = 16×2 + y2 + z2 = 16 и вне сферы x2 + y2 + z2 = 1.×2 + y2 + z2 = 1. Покажите, что центр масс твердого тела не находится внутри твердого тела.

336.

Найдите массу твердого тела Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2≤25, y≤1 − x2 − z2} Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2 ≤25, y≤1 − x2 − z2}, плотность которого равна ρ (x, y, z) = k, ρ (x, y, z) = k, где k> 0.к> 0.

337.

[T] Тело Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} имеет плотность, равную расстоянию до xy-plane.xy-plane. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.

  1. Найдите массу Q.Q.
  2. Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
  3. Найдите центр масс Q.Q.
  4. Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
338.

Рассмотрим твердое тело Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3} Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1, 0≤y≤2,0≤z≤3} с функцией плотности ρ (x, y, z) = x + y + 1.ρ (x, y, z) = x + y + 1.

  1. Найдите массу Q.Q.
  2. Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
  3. Найдите центр масс Q.Q.
339.

[T] Масса твердого тела QQ определяется тройным интегралом ∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz.∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.

  1. Покажите, что центр масс QQ расположен в плоскости xy. Xy.
  2. Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
340.

Тело QQ ограничено плоскостями x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. Его плотность в любой точке равна расстоянию до плоскости xz.xz плоскости. Найдите моменты инерции IyIy твердого тела относительно плоскости xz.xz плоскости.

341.

Тело QQ ограничено плоскостями x + y + z = 3, x + y + z = 3, x = 0, y = 0, x = 0, y = 0 и z = 0.г = 0. Его плотность равна ρ (x, y, z) = x + ay, ρ (x, y, z) = x + ay, где a> 0.a> 0. Покажите, что центр масс твердого тела расположен в плоскости z = 35z = 35 для любого значения a.a.

342.

Пусть QQ — твердое тело, расположенное вне сферы x2 + y2 + z2 = zx2 + y2 + z2 = z и внутри верхней полусферы x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 + z2 = R2, где R> 1.R > 1. Если плотность твердого тела равна ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, найти RR такое, что масса твердого тела равна 7π2,7π2 .

343.

Масса твердого тела QQ определяется выражением ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, где nn — целое число.Определите nn так, чтобы масса твердого тела была (2−2) π. (2−2) π.

344.

Пусть QQ — твердое тело, ограниченное над конусом x2 + y2 = z2x2 + y2 = z2 и под сферой x2 + y2 + z2−4z = 0.×2 + y2 + z2−4z = 0. Его плотность — постоянная k> 0. k> 0. Найдите такое kk, чтобы центр масс твердого тела находился на 77 единицах от начала координат.

345.

Твердое тело Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} имеет плотность ρ (x, y, z) = k.ρ (x, y, z) = k. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy составляет половину момента MyzMyz относительно плоскости yz.yz-самолет.

346.

Тело QQ ограничено цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2, параболоидом b2 − z = x2 + y2, b2 − z = x2 + y2 и плоскостью xy, плоскостью xy, где 0 <а <б. 0 <а <б. Найдите массу твердого тела, если его плотность равна ρ (x, y, z) = x2 + y2. Ρ (x, y, z) = x2 + y2.

347.

Пусть QQ — твердое тело постоянной плотности k, k, где k> 0, k> 0, которое находится в первом октанте, внутри кругового конуса x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, а над плоскостью z = 0. z = 0. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy — это то же самое, что момент MyzMyz относительно плоскости xz.xz-плоскость.

348.

Твердое тело QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.

  1. Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
  2. Найдите момент MxyMxy относительно плоскости xy.xy-plane.
349.

Твердое тело QQ имеет момент инерции IxIx относительно плоскости yz-planeyz, задаваемый тройным интегралом ∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) ) dzdxdy.∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) dzdxdy.

  1. Найдите плотность Q.Q.
  2. Найдите момент инерции IzIz относительно плоскости xy. Xy.
350.

Твердый QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.

  1. Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
  2. Найдите момент MxzMxz относительно плоскости xz.xz-плоскости.
351.

Пусть QQ — твердое тело, ограниченное плоскостью xy, плоскостью xy, цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2 и плоскостью z = 1, z = 1, где a> 1a> 1 — настоящий номер.Найти момент MxyMxy твердого тела относительно плоскости xy-planexy, если его плотность, заданная в цилиндрических координатах, равна ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), где ff — дифференцируемая функция с непрерывной и дифференцируемой первой и второй производными на (0, a). (0, a).

352.

Твердое тело QQ имеет объем, задаваемый формулами ∬D∫abdAdz, ∬D∫abdAdz, где DD — проекция твердого тела на плоскость xy, a 353.

Рассмотрим твердое тело, окруженное цилиндром x2 + z2 = a2x2 + z2 = a2 и плоскостями y = by = b и y = c, y = c, где a> 0a> 0 и b 354.

[T] Средняя плотность твердого QQ определяется как ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y, z) dV = mV (Q), ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y , z) dV = mV (Q), где V (Q) V (Q) и mm — объем и масса Q, Q соответственно.Если плотность единичного шара с центром в начале координат равна ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, используйте CAS для найти его среднюю плотность. \ prime \ left (t \ right) y \ left (t \ right)} \ right] dt}.2} \) на интервале \ (\ left [{1, b} \ right] \) равно \ (1? \)

Пример 3

Найдите координату точки \ (a \), которая разделяет область под корневой функцией \ (y = \ sqrt {x} \) на интервале \ (\ left [{0,4} \ right] \) на равные части.

Пример 4

Область ограничена вертикальными линиями \ (x = t \), \ (x = t + \ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \), осью \ (x — \) и кривая \ (y = a + \ cos x, \), где \ (a \ ge 1. \). Определите значение \ (t \), при котором область имеет наибольшую площадь.{t + \ frac {\ pi} {2}}} = {a \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right) + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi } {2}} \ right)} — ​​{at — \ sin t} = {\ cancel {at} + \ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right)} — ​​{\ cancel {at} — \ sin t} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi } {2}} \ right) — \ sin t.} \]

Использование тождества разницы синусов

\ [{\ sin \ alpha — \ sin \ beta} = {2 \ cos \ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} \ sin \ frac {{\ alpha — \ beta}} {2}, } \]

получаем

\ [{A = \ frac {{a \ pi}} {2}} + {2 \ cos \ frac {{t + \ frac {\ pi} {2} + t}} {2} \ sin \ frac {{\ cancel {t} + \ frac {\ pi} {2} — \ cancel {t}}} {2}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ( {t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ sin \ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ({ t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ cdot \ frac {{\ sqrt 2}} {2}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + \ sqrt 2 \ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right).} \]

Область имеет наибольшую площадь, когда \ (\ cos \ left ({t + \ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize} \ right) = -1. \)

Решая это уравнение, находим

\ [{\ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) = — 1,} \; \; \ Rightarrow {t + \ frac {\ pi} {4} = \ pi + 2 \ pi n,} \; \; \ Rightarrow {t = \ frac {{3 \ pi}} {4} + 2 \ pi n, \, n \ in \ mathbb {Z}. {2 \ pi} {\ left ({3 + 4 \ cos \ theta + \ cos 2 \ theta} \ right) d \ theta}} = {\ frac {1} {4} \ left.{2 \ pi}} = {\ frac {3} {{16}} \ cdot 2 \ pi} = {\ frac {{3 \ pi}} {8}} \]

(решено) — Рассмотрим двумерное тело, занимающее область [0, 1] × [0, … (1 ответ)

  • где k> 0 и b> 0. В зависимости от выбора b это уравнение может представлять собой отражающее крыло…

    где k> 0 и b> 0. В зависимости от выбора b это уравнение может представлять собой отражающее крыло, в котором средняя линия изгиба изгибается вверх к задней кромке. Чтобы проверить, является ли аэродинамическое крыло отражательным, нужно проверить, …

    Опубликовано 3 дня назад
  • Используется спиральная пружина сжатия, изготовленная из твердотянутой (также называемой холоднотянутой) стальной проволоки ASTM A227…

    Спиральная пружина сжатия, изготовленная из жестко вытянутой (также называемой холоднотянутой) стальной проволоки ASTM A227, используемой в основном для статической нагрузки, выдерживает максимальную нагрузку 15 Н. Учитывая, что надежная линейность составляет 0,2 и d = 3 мм, N4 = 8, N5 = 1,2, он имеет квадрат и …

    Опубликовано 3 дня назад
  • (а) Теплоемкость при постоянном давлении в определенной системе зависит только от температуры а…

    (a) Теплоемкость определенной системы при постоянном давлении является функцией только температуры и может быть выражена как Cp = 2,093+ E Roc, где t = ° C (температура системы). давление 1 атмосфера …

    Опубликовано 2 дня назад
  • Стальной болт, 2.50 см в диаметре, имеет среднее растягивающее напряжение 85 Н / мм² в сечении a. Оценивать…

    Стальной болт диаметром 2,50 см имеет среднее растягивающее напряжение 85 Н / мм² в сечении a. Оцените растягивающую нагрузку (Н) и диаметр (см) в основании резьбы, где среднее растягивающее напряжение на участке b составляет 150×10³ кПа.

    Опубликовано 2 дня назад
  • водяной насос, потребляющий 5 киловатт электроэнергии, который работает, как утверждается, потребляет воду…

    водяной насос, потребляющий 5 киловатт электроэнергии, который, как утверждается, при работе забирает воду из лакха и перекачивает ее в бассейн, свободная поверхность которого составляет 20 м, но поверхность озера составляет 20 л / с. определить, обоснована ли претензия ….

    Опубликовано 3 часа назад
  • Рассмотрим паровую электростанцию ​​мощностью 210 МВт, которая работает по простому идеальному циклу Ренкина.Пар попадает в …

    Рассмотрим паровую электростанцию ​​мощностью 210 МВт, которая работает по простому идеальному циклу Ренкина. Пар поступает в турбину при 10 МПа и (500 + R) ° C и охлаждается в конденсаторе под давлением 10 кПа. Предположим, что изоэнтропическая эффективность составляет 85 процентов для обоих …

    Опубликовано 2 дня назад
  • Пример 7.14. Узел горячей посадки, образованный путем усадки одной трубки на другую, подвергается …

    Пример 7.14. Узел горячей посадки, образованный путем усадки одной трубки на другую, подвергается внутреннему давлению 60 Н / мм2. Перед впуском жидкости внутренний и внешний диаметры узла составляют 120 мм и 200 мм, а…

    Опубликовано 18 часов назад
  • Поршнево-цилиндровое устройство изначально содержит воздух при 150 кПа и температуре 27 ° C.В этом состоянии поршень …

    Устройство поршень-цилиндр первоначально содержит воздух при 150 кПа и температуре 27 ° C. В этом состоянии поршень опирается на пару упоров, а закрытый объем составляет 400 л. Масса поршня такова, что давление 350 кПа составляет требуется, чтобы переместить его. Воздух есть…

    Опубликовано 2 дня назад
  • Электрическая цепь содержит три контрольных лампы.Какой допустимый символ можно использовать для обозначения …

    Электрическая цепь содержит три контрольных лампы. Какой допустимый символ можно использовать для обозначения каждого огня?

    Опубликовано 2 дня назад
  • где k> 0 и b> 0.В зависимости от выбора b это уравнение может представлять собой отражающее крыло …

    где k> 0 и b> 0. В зависимости от выбора b это уравнение может представлять собой отражающее крыло, в котором средняя линия изгиба изгибается вверх к задней кромке. Чтобы проверить, является ли аэродинамическое крыло отражательным, нужно проверить, есть ли…

    Опубликовано 3 дня назад
  • Иллюстративная математика

    IM Комментарий

    Цель этого задания — помочь обосновать полезность экспоненциальной записи в геометрическом контексте и дать учащимся возможность увидеть, что иногда проще записать число в виде числового выражения, чем оценивать выражение, что является важным грань MP7, ищите и используйте структуру.В этом задании предполагается, что учащиеся увидели и оценили числовые выражения, которые включают целочисленные показатели. Даже в этом случае учащиеся могут не думать об использовании экспоненциальной записи для представления площадей. Если они этого не сделали, часть (d) будет очень сложной. Поскольку студенты, скорее всего, найдут ответ на часть (d), заметив, что на каждом шаге все квадраты заменяются 8 квадратами, размер которых равен $ \ frac19 $, эта задача естественным образом вовлекает студентов в MP8. Ищите и выражайте закономерность в повторные рассуждения.

    Студенты могут не осознавать, что последняя фигура такого же размера, как и другие, просто увеличена, чтобы лучше видеть детали. Учитывая сложность задачи, это было бы хорошим занятием для студентов, над которым они могли бы работать в группах. Другой подход к решению задачи, который могут использовать студенты, — это вычесть «дыры», оставленные путем удаления квадратов из 1, и для студентов, которые подходят к этой задаче по-разному, было бы поучительно сравнить свои решения, чтобы убедиться, что они дают одинаковые результаты.

    Фигуры, которые студенты создают на каждом этапе, — это фигуры, предел которых называется «ковром Серпинского».«Это фрактал, площадь которого равна 0, а периметр бесконечен! Очень сложное продолжение — попросить учащихся найти периметр каждой фигуры в задании. Обратите внимание, что периметр включает длины краев« отверстий », которые являются слева, удалив «средний квадрат в каждой группе из 9». Например, периметр фигуры на третьем этапе равен $$ 4 + \ frac43 + 8 \ cdot \ frac49 + 64 \ cdot \ frac {4} {27} $$ Математика, необходимая для определения периметра 10-й ступени, технически доступна ученикам 6-го класса, но сложность рассуждений означает, что это потребует очень много времени.Если студенты хотят узнать больше о фракталах, существует множество интересных веб-сайтов; вот один: http://fractalfoundation.org/

    4а. Объем Solid of Revolution путем интеграции (дисковый метод)

    М. Борна


    Токарный станок

    Многие твердые предметы, особенно сделанные на токарном станке , имеют круглое поперечное сечение и изогнутые стороны. На этой странице мы видим, как найти том таких объектов с помощью интеграции.


    Предметы, изготовленные на токарном станке…

    Пример 1

    Рассмотрим область, ограниченную прямой y = 3x, осью x и x = 1:

    График y = 3x с заштрихованной областью под «кривой» между «x = 0» и «x = 1».

    Когда заштрихованная область поворачивается на 360 ° вокруг оси «x», создается объем.

    Полученное твердое тело представляет собой конус:

    Область под кривой `y = 3x` от` x = 0` до `x = 1`, повернутой вокруг оси` x`, показывая типичный диск.

    Дисковый метод для поиска томов

    Чтобы найти этот объем, мы могли бы взять срезы (показанный выше темно-зеленый диск — это типичный срез), каждый шириной `dx` и радиусом` y`:

    Типичный диск, показанный с его размерами, радиусом `= y` и« высотой »` = dx`.2dx`

    где:

    `y = f (x)` — уравнение кривой, площадь которой вращается

    `a` и` b` — границы вращаемой области

    `dx` показывает, что область вращается вокруг оси` x`

    ПРИМЕЧАНИЕ: На этой странице мы используем только дисковый метод и метод шайбы (где мы разрезаем форму на круглые срезы), и познакомимся с методом Shell далее). 2) / (250) + 40`

    Нам нужно найти объем бочки, который образуется, когда мы вращаем эту параболу между x = -50 и x = 50 вокруг оси x .2ч.

    Интересно, что Архимед (тот, кто, как известно, выпрыгнул из своей ванны и побежал по улице с криком «Эврика! Я понял») использовал этот подход, чтобы найти объемы сфер около 200 г. до н.э. Этот метод был почти забыт до начала 1700-х годов, когда исчисления были разработаны Ньютоном и Лейбницем.

    Мы видим, как решить проблему, используя оба подхода.

    Объем историческим методом:

    Ответ

    Поскольку дыня симметрична, мы можем вычислить объем одной половины дыни, а затем удвоить наш ответ.3` или `9.161 \» L «`. Это примерно то же самое, что мы получили, нарезав арбуз и увеличив объем ломтиков.

    [См. Также Архимед и площадь параболического сегмента.]

    15.6: Расчет центров масс и моментов инерции

    Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как определение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области. В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью.Плотность обычно считается постоянным числом, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

    Центр масс в двух измерениях

    Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле. Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана точка \ (P \) как центр масс пластинки.Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе. *) \) в качестве точек выборки.{x = 3} = \ dfrac {27} {8}. \]

    Вычисление несложное и дает ответ \ (m = \ dfrac {27} {8} \, kg \).

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Рассмотрим ту же область \ (R \), что и в предыдущем примере, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите общую массу.

    Ответ

    \ (\ dfrac {9 \ pi} {8} \, кг \)

    Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.2 y \, dy \, dx = \ dfrac {81} {20}, \]

    Расчет довольно прост.

    Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

    Рассмотрим ту же пластину \ (R \), что и выше, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите моменты \ (M_x \) и \ (M_y \).

    Ответ

    \ (M_x = \ dfrac {81 \ pi} {64} \) и \ (M_y = \ dfrac {81 \ pi} {64} \)

    Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в терминах интегралов.Обозначим координату центра масс x как \ (\ bar {x} \), а координату y как \ (\ bar {y} \). В частности,

    \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

    и

    \ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): центр масс

    Снова рассмотрим ту же треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (0,3), \, (3,0) \) и с функцией плотности \ (\ rho (x, у) = ху \).Найдите центр масс.

    Решение

    По разработанным формулам имеем

    \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}, \]

    \ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}. \]

    Следовательно, центром масс является точка \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right).\)

    Анализ

    Если мы выберем плотность \ (\ rho (x, y) \) вместо однородной по всей области (т. Е. Постоянной), такой как значение 1 (подойдет любая константа), то мы сможем вычислить центроид,

    \ [x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1, \]

    \ [y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1. \]

    Обратите внимание, что центр масс \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right) \) не совсем то же самое, что и центроид \ ((1,1) \ ) треугольной области.Это связано с переменной плотностью \ (R \). Если плотность постоянна, мы просто используем \ (\ rho (x, y) = c \) (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и используйте функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите центр масс.

    Ответ

    \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {81 \ pi / 64} {9 \ pi / 8} = \ dfrac {9} {8} \) и \ (\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {81 \ pi} {9 \ pi / 8} = \ dfrac {0} {8} \).

    Еще раз, основываясь на комментариях в конце примера \ (\ PageIndex {3} \), у нас есть выражения для центроида области на плоскости:

    \ [x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \, dA} {\ iint_R \, dA} \, \ text {and} \, y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \, dA} {\ iint_R \, dA}. \]

    Мы должны использовать эти формулы и проверить центроид треугольной области R, упомянутой в последних трех примерах.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск массы, моментов и центра масс

    Найти массу, моменты и центр масс пластинки плотности \ (\ rho (x, y) = x + y \), занимающей область \ (R \) под кривой \ (y = x ^ 2 \) в интервале \ (0 \ leq x \ leq 2 \) (см. 2) xy \, dy \, dx = I_x + I_y = 8 \]

    Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

    Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \).2 \), где \ (r \) — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения .

    Следовательно, радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат равны

    \ [R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}}, \, R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}}, \ и \, R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}}, \]

    соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, на каком расстоянии (перпендикулярном расстоянии) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

    Пример \ (\ PageIndex {7} \): определение радиуса вращения для треугольной пластинки

    Рассмотрим ту же треугольную пластину \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x , y) = xy \), как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

    Решение

    Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что \ (m = 2 \). Мы нашли моменты инерции этой пластины в Примере \ (\ PageIndex {4} \). Исходя из этих данных, радиусы инерции относительно оси \ (x \), \ (y \) — оси и начала координат равны, соответственно,

    \ [\ begin {align} R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8/3} {2}} = \ sqrt {\ dfrac {8} {6}} = \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3}, \\ R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {16/3} {2}} = \ sqrt { \ dfrac {8} {3}} = \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3}, \\ R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8} { 2}} = \ sqrt {4} = 2. 2yz.2z \). Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

    Ответ

    Моменты инерции тетраэдра \ (Q \) относительно плоскости \ (yz \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (xy \) равны \ (99/35, \, 36/7 \) и \ (243/35 \) соответственно.

    Ключевые понятия

    Нахождение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в двойных интегралах:

    • Для пластинки \ (R \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) \) в любой точке \ ((x, y) \) на плоскости масса равна \ [m = \ iint_R \ rho (х, у) \, дА.2) \ rho (x, y) \, dA. \]

    Нахождение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в тройных интегралах:

    • Для твердого объекта \ (Q \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y, z) \) в любой точке \ ((x, y, z) \) в пространстве масса равна \ [ m = \ iiint_Q \ rho (x, y, z) \, dV. \]
    • Моменты относительно плоскости \ (xy \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (yz \) равны \ [M_ {xy} = \ iiint_Q z \ rho (x, y, z ) \, dV, \, M_ {xz} = \ iiint_Q y \ rho (x, y, z) \, dV, \, M_ {yz} = \ iiint_Q x \ rho (x, y, z) \, dV \]
    • Центр масс определяется выражением \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_ {yz}} {m}, \, \ bar {y} = \ dfrac {M_ {xz}} {m}, \, \ bar {z} = \ dfrac {M_ {xy}} {m}.*) \, \ Delta A = \ iint_R x \ rho (x, y) \, dA \]
    • Центр масс пластинки \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x , y) \, dA} \ и \, \ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho ( х, у) \, dA} \]

    Глоссарий

    радиус вращения
    расстояние от центра масс объекта до его оси вращения

    Авторы и авторство

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    Исчисление III — Теорема Грина

    Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 5-7: Теорема Грина

    В этом разделе мы собираемся исследовать взаимосвязь между некоторыми видами линейных интегралов (на замкнутых путях) и двойными интегралами.

    Начнем с простой (напомним, что это означает, что она не пересекает саму себя) замкнутой кривой \ (C \), и пусть \ (D \) будет областью, охватываемой кривой. Вот набросок такой кривой и области.

    Во-первых, обратите внимание, что, поскольку кривая простая и замкнутая, в области \ (D \) нет дырок. Также обратите внимание на направление кривой. Мы будем использовать здесь соглашение, согласно которому кривая \ (C \) имеет положительную ориентацию , если она проводится против часовой стрелки.Другой способ думать о положительной ориентации (который будет охватывать гораздо более общие кривые, а также см. Ниже) состоит в том, что при прохождении пути, следуя положительной ориентации, область \ (D \) всегда должна быть слева.

    Для таких кривых / областей, как эта, мы имеем следующую теорему.

    Теорема Грина

    Пусть \ (C \) — положительно ориентированная кусочно гладкая простая замкнутая кривая и пусть \ (D \) — область, ограниченная кривой. Если \ (P \) и \ (Q \) имеют непрерывные частные производные первого порядка на \ (D \), то

    \ [\ int \ limits_ {C} {{Pdx \, + Qdy}} = \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} — \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}} \ right) \, dA}} \]

    Перед тем, как приступить к работе с некоторыми примерами, мы должны отметить несколько альтернативных обозначений.При работе с линейным интегралом, в котором путь удовлетворяет условию теоремы Грина, мы часто будем обозначать линейный интеграл как,

    \ [\ oint_ {C} {{Pdx + Qdy}} \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {или}} \ hspace {0,25 дюйма} \ mathop {\ int \ mkern-18.8mu \ circlearrowleft} \ limits_C {Pdx + Qdy} \]

    Оба эти обозначения действительно предполагают, что \ (C \) удовлетворяет условиям теоремы Грина, поэтому будьте осторожны при их использовании.

    Кроме того, иногда кривая \ (C \) рассматривается не как отдельная кривая, а как граница некоторой области \ (D \), и в этих случаях вы можете увидеть \ (C \), обозначенный как \ (\ partial D \).3} \, dy}} \), где \ (C \) — треугольник с вершинами \ (\ left ({0,0} \ right) \), \ (\ left ({1,0} \ right) \ ), \ (\ left ({1,2} \ right) \) с положительной ориентацией. Показать решение

    Давайте сначала набросаем \ (C \) и \ (D \) для этого случая, чтобы убедиться, что условия теоремы Грина выполнены для \ (C \), и вам понадобится набросок \ (D \) для оценки двойного интеграл.

    Итак, кривая удовлетворяет условиям теоремы Грина, и мы видим, что следующие неравенства будут определять замкнутую область.{{\, 2 \ pi}} {{4 \, d \ theta}} \\ & = — 24 \ pi \ end {align *} \]

    Итак, сформулированная теорема Грина не работает для областей, в которых есть дыры. Однако во многих регионах есть дыры. Итак, давайте посмотрим, как мы можем справиться с такими регионами.

    Начнем со следующего региона. Несмотря на то, что в этой области нет никаких дыр, аргументы, которые мы собираемся пройти, будут аналогичны тем, которые нам понадобятся для областей с дырами в них, за исключением того, что с ними будет немного легче иметь дело и записывать.

    Область \ (D \) будет \ ({D_1} \ cup {D_2} \) и напомним, что символ \ (\ cup \) называется объединением и означает, что \ (D \) состоит из обоих \ ( {D _ {_ 1}} \) и \ ({D_2} \). Граница \ ({D _ {_ 1}} \) — \ ({C_1} \ cup {C_3} \), а граница \ ({D_2} \) — \ ({C_2} \ cup \ left ({- {C_3}} \ right) \) и обратите внимание, что обе эти границы положительно ориентированы. Когда мы пересекаем каждую границу, соответствующая область всегда оказывается слева. Наконец, также обратите внимание, что мы можем рассматривать всю границу \ (C \) как

    \ [C = \ left ({{C_1} \ cup {C_3}} \ right) \ cup \ left ({{C_2} \ cup \ left ({- {C_3}} \ right)} \ right) = {C_1 } \ чашка {C_2} \]

    , поскольку и \ ({C_3} \), и \ (- {C_3} \) будут «отменять» друг друга.

    Теперь давайте начнем со следующего двойного интеграла и воспользуемся основным свойством двойных интегралов, чтобы разбить его.

    \ [\ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} = \ iint \ limits _ {{{D_1} \ cup {D_2}}} {{ \ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} = \ iint \ limits _ {{{D_1}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \ , dA}} + \ iint \ limits _ {{{D_2}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} \]

    Затем используйте теорему Грина для каждого из них и снова воспользуйтесь тем фактом, что мы можем разбить линейные интегралы на отдельные линейные интегралы для каждой части границы.

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ iint \ limits _ {{{D_1}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} + \ iint \ limits _ {{{D_2}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right ) \, dA}} \\ & = \ oint \ limits _ {{{C_1} \ cup {C_3}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_2} \ cup \ left ({- {C_3}} \ right)}} {{Pdx + Qdy}} \\ & = \ oint \ limits _ {{{C_1}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_3}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_2}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{- {C_3}}} {{Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Далее мы воспользуемся тем фактом, что

    \ [\ oint \ limits _ {{- {C_3}}} {{Pdx + Qdy}} = — \ oint \ limits _ {{{C_3}}} {{Pdx + Qdy}} \]

    Напомним, что изменение ориентации кривой с линейными интегралами относительно \ (x \) и / или \ (y \) просто изменит знак интеграла.Используя этот факт, получаем, что

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ oint \ limits _ {{{C_1}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_3}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_2}}} {{Pdx + Qdy}} — \ oint \ limits_ {{{C_3}}} {{Pdx + Qdy}} \\ & = \ oint \ limits _ {{{C_1}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_2}}} {{ Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Наконец, сложите линейные интегралы вместе, и мы получим

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ oint \ limits _ {{{C_1}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint \ limits _ {{{C_2}}} {{Pdx + Qdy}} \\ & = \ oint \ limits _ {{{C_1} \ cup {C_2}}} {{Pdx + Qdy}} \\ & = \ oint \ limits_ {C} {{Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Итак, что мы узнали из этого? Если задуматься, это был просто большой объем работы, и все, что мы получили от нее, — это результат теоремы Грина, которая, как мы уже знали, истинна.Это упражнение показало нам, что если мы разбиваем область на части, как мы делали выше, то часть линейного интеграла на участках кривой, которые находятся в середине области (каждый из которых находится в противоположном направлении), будет отменяет. Эта идея поможет нам справиться с областями, в которых есть дыры.

    Чтобы увидеть это, давайте посмотрим на кольцо.

    Обратите внимание, что обе кривые ориентированы положительно, поскольку область \ (D \) находится слева, когда мы пересекаем кривую в указанном направлении.Также обратите внимание, что кривая \ ({C_2} \), похоже, нарушает исходное определение положительной ориентации. Первоначально мы говорили, что кривая имеет положительную ориентацию, если по ней перемещаться против часовой стрелки. Однако это было только для областей, в которых нет отверстий. Для границы отверстия это определение не работает, и нам нужно прибегнуть ко второму определению, которое мы дали выше.

    Теперь, поскольку в этой области есть дыра, мы, по-видимому, не сможем использовать теорему Грина для какого-либо линейного интеграла с кривой \ (C = {C_1} \ cup {C_2} \).Однако, если мы разрежем диск пополам и переименуем все различные части кривых, мы получим следующий набросок.

    Граница верхней части (\ ({D _ {_ 1}} \)) диска — \ ({C_1} \ cup {C_2} \ cup {C_5} \ cup {C_6} \), а граница на нижняя часть (\ ({D_2} \)) диска это \ ({C_3} \ cup {C_4} \ cup \ left ({- {C_5}} \ right) \ cup \ left ({- {C_6}}) \верно)\). Также обратите внимание, что мы можем использовать теорему Грина для каждой из этих новых областей, поскольку в них нет дыр.Это означает, что мы можем сделать следующее:

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ iint \ limits _ {{{D_1}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} + \ iint \ limits _ {{{D_2}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right ) \, dA}} \\ & = \ oint _ {{{C_1} \ cup {C_2} \ cup {C_5} \ cup {C_6}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint _ {{{C_3} \ чашка {C_4} \ cup \ left ({- {C_5}} \ right) \ cup \ left ({- {C_6}} \ right)}} {{Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Теперь мы можем разбить линейные интегралы на линейные интегралы на каждом участке границы.Также помните из работы выше, что границы, которые имеют ту же кривую, но противоположное направление, будут отменены. Это дает

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ iint \ limits _ {{{D_1}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} + \ iint \ limits _ {{{D_2}}} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right ) \, dA}} \\ & = \ oint _ {{{C_1}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint _ {{{C_2}}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint _ {{{C_3 }}} {{Pdx + Qdy}} + \ oint _ {{{C_4}}} {{Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Но на этом этапе мы можем снова добавить линейные интегралы следующим образом:

    \ [\ begin {align *} \ iint \ limits_ {D} {{\ left ({{Q_x} — {P_y}} \ right) \, dA}} & = \ oint _ {{{C_1} \ cup {C_2 } \ cup {C_3} \ cup {C_4}}} {{Pdx + Qdy}} \\ & = \ oint_ {C} {{Pdx + Qdy}} \ end {align *} \]

    Конечным результатом всего этого является то, что мы могли бы просто использовать теорему Грина на диске с самого начала, даже если в нем есть дыра.3} \, dy}} \), где \ (C \) — две окружности радиуса 2 и радиуса 1 с центром в начале координат и положительной ориентацией. Показать решение

    Обратите внимание, что это тот же линейный интеграл, что и во втором примере, но изменилась только кривая. В этом случае область \ (D \) теперь будет областью между этими двумя кругами, и это изменит только пределы двойного интеграла, поэтому мы не будем вдаваться в детали здесь.

    Вот работа для этого интеграла.{{\, 2 \ pi}} {{\ frac {{15}} {4} \, d \ theta}} \\ & = — \ frac {{45 \ pi}} {2} \ end {align * } \]

    Мы завершим этот раздел интересным приложением теоремы Грина. Напомним, что мы можем определить площадь области \ (D \) с помощью следующего двойного интеграла.

    \ [A = \ iint \ limits_ {D} {{dA}} \]

    Давайте представим этот двойной интеграл как результат использования теоремы Грина. Другими словами, предположим, что

    \ [{Q_x} — {P_y} = 1 \]

    и посмотрим, сможем ли мы получить некоторые функции \ (P \) и \ (Q \), которые этому удовлетворят.

    Есть много функций, которые этому удовлетворяют. Вот некоторые из наиболее распространенных функций.

    \ [\ begin {array} {c} \ begin {array} {l} P = 0 & & \\ Q = x \ end {array} & \ begin {array} {l} P = — y & & \\ \, \, Q = 0 \ end {array} & \ begin {array} {l} P = — \ frac {y} {2} \\\, \, Q = \ frac {x} {2} \ end {массив} \ end {массив} \]

    Тогда, если мы воспользуемся теоремой Грина в обратном порядке, мы увидим, что площадь области \ (D \) также может быть вычислена путем вычисления любого из следующих линейных интегралов.

    \ [A = \ oint \ limits_ {C} {{x \, dy}} = — \, \ oint \ limits_ {C} {{y \, dx}} = \ frac {1} {2} \ oint \ limit_ {C} {{x \, dy — y \, dx}} \]

    где \ (C \) — граница области \ (D \).

    Давайте быстро рассмотрим пример этого.

    Пример 4 Используйте теорему Грина, чтобы найти площадь круга радиуса \ (a \).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *